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ln 1%x 麦克劳林展开

ln(1-x)=-x-x^2/2-x^3/3---x^n/n+Rn(x) Rn(x)=-x^(n+1)/[(n+1)(1-θx)^(n+1)](0<θ<1) 泰勒公式和麦克劳林公式是拉格朗日中值定理的推广,可用它推导函数的幂级数展开式

首先求根号(1+x)的麦克劳林公式 f(x)=g(x^2) g(x)=1+g'(0)*x+g''(x)/2!*x^2++g(n)(0)/n!*x^n +最后一项中n表示n阶导数 g(n)(0)=1/2*(1/2-1)*..(1/2-(n-1))=(-1)^(n-1)(2n-1)!!/2^n 所以f(x)=1+x^2/2+.+(-1)^(n-1)(2n-1)!!/(2^n*n!)*x^2n+.

f(x)= ln(1-x) =>f(0)=0f'(x)= -1/(1-x) =>f'(0)/1!=-1f^(n)(x) = -(n-1)!/(1-x)^n =>f^(n)(0)/n!=-1/n..f(x)=ln(1-x)=f(0) +[f'(0)/1!]x+ [f''(0)/2!]x^2++[f^(n)(0)/n!]x^n +=-x -(1/2)x^2 -- (1/n)x^n +.

ln(1+x)=∑([(-1)^n]x^(n+1))/n+1 ln(1+x^2)=∑([(-1)^n]x^2(n+1))/n+1 ln(1+x^2)/x=∑([(-1)^n]x^(2n+1))/n+1 极限分式满足0/0或∞/∞型未定式,即分子分母极限均为0,可以使用洛必达法则.当有一个极限不存在时(不包括∞情形),就不能用洛必达法则,可用其他方法如泰勒公式等.所以两者是不能随意混用的,要看清楚条件.

就是求出f(x)的n阶导数=(-1)^(n-1)(n-1)!(1+x)^(-n)f^(n)(0)=(-1)^(n-1)(n-1)!然后代入公式:f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!*x^2+.即得最后结果.

ln(1-x)的泰勒级数展开是:ln(1-x) = ln[1+(-x)] = Σ (-1)^(n+1) (-x)^n / n = Σ x^n / n ,-1≤ x.泰勒展开 f(x)= f(0)+ f′(0)x+ f″(0)x / 2!++ f(0)f(x)= ln(x+1) f(0)=ln1=0 f′(0)=1/(x+1)=1 f″(0)=-(x+1)^(-2)=-1 f3(0)=-(-2)(x+1)^(-3)=2 f4(0)=2*(-3)(x+1)^(-4)=-6 f(

ln(1-x)= -x+ x/2 - x/3 +(-1)^(n)x^(n)/n

∵ln(1+x) = Σ (-1)^(n+1) x^n / n ,-1∴ln(1-x) = ln[1+(-x)] = Σ (-1)^(n+1) (-x)^n / n = Σ x^n / n ,-1≤ x

ln(1-x)=-∑[(x^n)/n] (-1

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