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梯度方向和法线方向

简单来说,梯度方向是函数增长最快的方向,很显然增长最快的方向是过该点的等量面的法线方向,所以,函数在一点的梯度方向是这点的法线方向

我知道楼主哪里理解错了.梯度的确是某一类曲线的法线方向,重要的问题是:什么曲线?是等值线!就是所有满足f(x,y)=c的点(x,y)确定的曲线.那在单变量下怎么理解?就是f(x)=c确定的x,只不过是一些点而已!楼主把函数曲线本身给当成等值线了.那这种情形下梯度的方向怎么确定?回顾梯度的意义:函数值增长最快的自变量改变方向.所以在单变量情况下只能是沿X正方向或负方向,导数为正就沿正方向,导数为负就沿负方向.

你可以这样想象一个z=f(x,y)的三维图像,每一个(x,y)点都有一个z与之映射,可以想象得到那将是一个曲面,然后你想象曲面上一个特定的点,它就像你在爬山的时候站在半山腰一样.如果你平的在那个半山腰左右走,那么你的高度是不会变的.

应该是:y=x^2中在点(3,9)上的梯度就是为(6,-1).在二元函数的情形,设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点P(x,y)∈D,都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j,这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度,记作gradf(x,y)

用等高线地图来解释比较合适,等高线相当于函数值相同的一圈一圈的线,等高线任意点都有切线 所谓的法方向就是切线的垂直方向,也就是梯度方向(函数值增大或者变小的方向).

细想了一下觉得可以这样解释:根据公式f/l=(f/x,f/y)(cosα,sinα)=|gradf(x,y)|cosθ,方向导数是梯度在不同方向上的投影.这样就很好的说明了梯度和方向导数的关系而且为什么方向导数的最大值是梯度的模.

方向导数=梯度单位方向向量梯度=在(1,2,3)==单位方向向量=除以模=/根号(6^2+3^2+2^2)=/7所以方向导数=(12*6+(-6)*3+4*(-2))/7=46/7

所谓梯度的方向,是函数值增大最快的方向,从一条等值线到下一条等值线,斜着走是不是需要走更远的路?那就不是最快的方向,只有处处垂直等值线,才会在走同样的距离的情况下,跨过最多的等值线.

方向导数于梯度的绝对值在方向向量于方向导数的夹角位90度得时候相等.一般情况,函数f在x的偏导数乘上确定方向导数的方向向量的x处坐标加上函数f在y的偏导数乘上确定方向导数的方向向量的y处坐标,就等于梯度乘上方向向量.

1梯度是所有方向的方向导数中绝对值最大的那个方向导数,且指向函数值增大的方向.方向导数与梯度是场论中的概念,你可以搜以下北京大学出版社出版的《流体力学》,第一章就是介绍场论的.这两个概念与“骑自行车向正北方向”等没有联系2矢量场的大小组成的场有梯度,矢量场的梯度没有意义.梯度是针对标量场的.

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