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方向导数的最值问题

解:根据题意:u/x=2x-y-z u/y=2y-x+z u/z=2z-x+y 则:u/x|P =2x-y-z|P=0 u/y|P =2y-x+z|P=2 u/z|P=2z-x+y|P=2 令:沿着P处的方向角为:α知,β,γ,于是:u/l|P=u/x|P 道cosα+u/y|P cosβ+u/z|P cosγ =2cosβ+2cosγ=2(cosβ+cosγ) 因此:当β=0,γ=0时取得专最大值,此时:u/l|P=4,是沿着YOZ平面的方向 当β=π/2,γ=π/2时取得最小值,此时:u/l|P=0,是沿着垂直YOZ平面的方向 x轴方属向导数为0

方向导数的最大值也就是在这个点的梯度 由已知可得在这一点的偏导数为1和2和2 故梯度为√(1+2+2)=3

概念错误,方向导数是一个数,梯度是一个向量,方向导数的最大值不会是梯度.正确的说法是 方向导数,当其方向与梯度方向一致时达到最大值,这一点由方向导数的计算公式就可以得到,书上写得清清楚楚的.

h=1.5+(15cosφ-3)tanφ-2=3(5sinφ-tanφ)-0.5 求h的最大值即可 h'=3(5cosφ-secφ)=0 cosφ=(1/5)^(1/3)代入h可得最大值

虽然你这问题问了好久,我也是带着这个问题百度的,但细想了一下觉得可以这样解释:根据公式f/l=(f/x,f/y)(cosα,sinα)=|gradf(x,y)|cosθ,方向导数是梯度在不同方向上的投影.这样就很好的说明了梯度和方向导数的关系而且为什么方向导数的最大值是梯度的模.

方向导数的最小值就是梯度,,

这要说梯度的意义了.梯度是一个向量,对应方向导数取得最大值的方向,也就是函数增长最快的方向,梯度的反向,就是函数下降最快的方向.要求最小值,自然可以用梯度下降法来求.

倒过来,lim(△x→0)[f(x0-△x)-f(x0)]/(-△x)=f '(x0)【依然是导数的定义,只不过△x换成了-△x】

函数f(x1,x2,,xn)在点x0沿方向u=(u1,u2,,un)的方向导数为af/ax1*u1+af/ax2*u2++af/axn*un=,其中Df(x0)就是f在x0的梯度向量,表示内积.由Cauchy_Schwartz不等式知道当且仅当u和Df(x0)同方向时,内积最大,

方向导数=梯度单位方向向量梯度=在(1,2,3)==单位方向向量=除以模=/根号(6^2+3^2+2^2)=/7所以方向导数=(12*6+(-6)*3+4*(-2))/7=46/7

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